ASPress - czasopisma pedagogiczne


ARCHIWUM WYDAŃ CYFROWYCH


Zbiór 52 felietonów poświęconych współczesnej Polsce, Polakom, polityce, roli telewizji i mediów we współczesnym świecie, globalizacji i konsekwencji wynikającej z naszego otwarcia na świat.
Wydanie w postaci pliku PDF
Cena 10 zł.
Zamów


Książka o podróżach, poznawaniu, odkrywaniu i podbijaniu świata, o pokonywaniu kolejnych horyzontów ludzkiego rozwoju. Ludzie wędrują od wieków, zawsze chcieli zobaczyć, co jest za kolejną rzeką, górą, morzem, za nowym horyzontem. Ta wędrówka pozwoliła najpierw poznać naszą planetę, a dziś już zaprowadziła człowieka poza granice Układu Słonecznego. Kim są ci, którzy zmieniają historię świata? Dlaczego Krzysztof Kolumb odkrył Amerykę, a Mikołaj Kopernik „poruszył” Ziemię?
Wydanie w postaci pliku PDF.
Cena 10 zł.
Zamów

Wydanie drukowane



Historia powstania  * Dane techniczne * Słynne rajdy * Rozwiązania konstrukcyjne

Pierwszy pojazd z napędem na obie osie skonstruowano w 1824 r. a więc ponad pól wieku wcześniej od samochódu. Jednak dopiero wojskowi amerykańskiej armii jako pierwsi chcieli mieć pojazd, który pojedzie każdą drogą, pokona głębokie rowy  i wyposażony będzie we wciągarkę, tak by mógł poruszać się w każdym terenie.
Cena 10 zł.
Zamów

Wydania specjalne "Geografii w Szkole"

2011

2010

2009

2008


Zamów


Ebooki 


Więcej

Dlaczego działa GPS?



W 1687 roku w swoim dziele Philosophiae naturalis principia mathematica (Matematyczne zasady filozofii przyrody) Isaac Newton pisał: „Absolutny, prawdziwy i matematyczny czas sam z siebie, ze swojej własnej natury płynie równomiernie bez żadnej relacji do czegokolwiek zewnętrznego”.
Wiek XX, za sprawą Alberta Einsteina, zmienił nasze postrzeganie tej jednej z najważniejszych wielkości fizycznych. Najpierw z teorii nazywanej szczególną teorią względności, opublikowanej przez Einsteina w 1905 roku, dowiedzieliśmy się, że czas nie jest wielkością niezależną. Jest on ściśle związany z przestrzenią i wraz z nią tworzy nierozerwalną strukturę – czterowymiarową przestrzeń zwaną czasoprzestrzenią.
Musieliśmy również zmienić nasze wyobrażenie o uniwersalności tempa, w jakim upływa czas. Okazało się, że nie jest ono jednakowe dla wszystkich układów odniesienia. Jeśli przyjrzymy się szybkości, z jaką upływa czas w układzie, który porusza się względem nas, to okaże się, że biegnie on wolniej niż w naszym układzie. Zjawisko to nazywamy dylatacją czasu.
W 1916 roku Einstein opublikował teorię grawitacji nazywaną popularnie ogólną teorią względności. Z teorii tej wynika, że czasoprzestrzeń, która w szczególnej teorii względności jest przestrzenią płaską, ulega zakrzywieniu pod wpływem materii. Można to sobie wyobrazić na przykładzie gumowej płachty rozciągniętej na płaskiej ramie. Symbolizuje ona dwuwymiarową płaską przestrzeń. Jeśli na tej płachcie położymy jakieś ciało, np. metalową kulę, to guma w pobliżu tego ciała odkształci się i powierzchnia płachty przestanie być płaska, stanie się dwuwymiarową zakrzywioną przestrzenią.
Zakrzywienie czasoprzestrzeni sprawia, że ciała poruszające się swobodnie nie poruszają się po liniach prostych – takich, jakie sobie wyobrażamy w przestrzeni euklidesowej – lecz po tzw. krzywych geodezyjnych, co prowadzi do efektów nazywanych grawitacją. Na przykład w czasoprzestrzeni zakrzywionej przez Słońce planety poruszają się po elipsach. Zakrzywienie czasoprzestrzeni nie pozostaje bez wpływu na czas, który jest elementem czasoprzestrzeni. Okazuje się, że tempo upływu czasu w pobliżu ciała o dużej masie zależy od odległości od środka masy tego ciała i jest tym mniejsze, im niższy jest potencjał grawitacyjny w danym punkcie.
Przykładowo czas na powierzchni Słońca biegnie wolniej niż na powierzchni Ziemi, a czas na parterze budynku biegnie wolniej niż na pierwszym piętrze. Oba zjawiska, czyli dylatacja czasu i wpływ grawitacji na szybkość upływu czasu, są w normalnych warunkach tak niesłychanie małe, że nie doświadczamy efektów ich działania w codziennym życiu. Dlatego tak trudno jest nam je zaakceptować. Nie pasują one do naszego intuicyjnego postrzegania świata wynikającego z codziennych obserwacji. Wielu ludzi wręcz wątpi w ich realność. Tymczasem ich istnienie zostało przez fizyków już wielokrotnie potwierdzone eksperymentalnie, i to w doskonałej zgodności z przewidywaniami teoretycznymi. Mało tego, tak abstrakcyjna i „nieżyciowa”, wydawałoby się, teoria wyszła już dawno poza gabinety i laboratoria wąskiej grupy naukowców i znalazła praktyczne zastosowanie. Jej użycie okazało się konieczne dla prawidłowego działania systemów, z których korzysta coraz więcej osób na całej Ziemi i bez których wielu z nas nie wyobraża już sobie życia. Tymi systemami są systemy nawigacji satelitarnej takie jak GPS (Global Positioning System).

W poprzednim artykule opisałem zasadę działania systemu GPS. Realizacja przedstawionej tam koncepcji określania położeń odbiorników GPS wymaga spełnienia dwóch warunków. Po pierwsze, musimy dysponować układem bardzo dokładnych i stabilnych zegarów (w satelitach i naziemnych stacjach kontroli) o dokładności nie gorszej niż kilka nanosekund na dobę – spełnienie tego warunku jest możliwe dzięki zastosowaniu zegarów atomowych. Po drugie, wszystkie te zegary muszą być bardzo dokładnie zsynchronizowane ze sobą. Innymi słowy, w każdym momencie wskazania wszystkich tych zegarów nie mogą różnić się o więcej niż kilka nanosekund.Naiwnością byłoby sądzić, że skoro zegary atomowe potrafią wskazywać czas z taką właśnie dokładnością, to zsynchronizowanie tego układu zegarów jest tylko kwestią techniczną. Okazuje się, że przy tak dużych wymaganiach dotyczących dokładności pomiaru czasu i synchronizacji zegarów, jakiej wymaga system GPS, nie możemy już pozwolić sobie na traktowanie czasu w sposób newtonowski. Musimy uwzględnić wszystkie jego własności wynikające z obu teorii względności Einsteina.
Czas w satelitach GPS płynie inaczej niż na powierzchni Ziemi. Związane jest to z wyższym niż na powierzchni Ziemi potencjałem grawitacyjnym oraz ruchem satelitów względem Ziemi. Dlatego zegary umieszczone na pokładach satelitów będą chodzić inaczej niż zegary pozostawione na Ziemi. Niemożliwe jest zsynchronizowanie zegarów, których tempo pracy jest różne. To tak, jakby chcieć zsynchronizować rozregulowane zegary, z których niektóre chodzą za wolno, a inne za szybko w stosunku do zegara wzorcowego. Nawet jeśli w danym momencie ustawimy wszystkie zegary na godzinę wskazywaną przez zegar wzorcowy (zsynchronizujemy je), to po pewnym czasie każdy z nich będzie pokazywał inną godzinę.
Przyjrzyjmy się temu bliżej. Satelity GPS poruszają się z szybkością około 4 km/s. Jest to ogromna prędkość jak na ziemskie warunki, ale niewielka w porównaniu z szybkością światła. Dlatego efekt dylatacji czasu, opisywany przez szczególną teorię względności, jest niesłychanie mały. Idealny zegar umieszczony w układzie poruszającym się z szybkością satelity GPS spóźniałby się w stosunku do idealnego zegara spoczywającego w naszym układzie o 1 sekundę dopiero po 380 latach.
Wydawałoby się, że tak niezauważalny efekt można pominąć, ale przy dokładnościach wymaganych przez system GPS nie możemy sobie na to pozwolić. Zauważmy, że po jednej dobie dostalibyśmy różnicę wskazań zegarów wynoszącą około 7,2 μs (7200 ns). Taka desynchronizacja zegarów na orbicie prowadziłaby do błędu w pomiarze odległości satelity od odbiornika, wynoszącego ponad 2 km (taką drogę pokona światło w czasie 7,2 μs)!
Wpływ pola grawitacyjnego na tempo upływu czasu na orbicie GPS jest jeszcze większy. Potencjał pola grawitacyjnego jest tam większy niż na powierzchni Ziemi, więc zgodnie z ogólną teorią względności czas płynie szybciej. Uwzględniając jedynie wpływ pola grawitacyjnego, zegar w satelicie GPS po jednej dobie będzie śpieszył się o około 45,8 μs (45800 ns) w stosunku do zegara na Ziemi.
Oba efekty mają całkowicie odmienny wpływ na tempo upływu czasu. Dylatacja powoduje spowolnienie czasu, a wyższy potencjał pola grawitacyjnego – przyśpieszenie tempa upływu czasu. Jak widzimy, w przypadku orbit GPS przeważa drugie z tych zjawisk. Efekt łączny daje zatem przyśpieszenie czasu na orbitach GPS. Idealny zegar umieszczony w satelicie GPS śpieszy się w stosunku do idealnego zegara na Ziemi o około 38,6 μs (38600 ns) na dobę. Błąd pomiaru odległości do satelitów, powstały wskutek różnego tempa upływu czasu w satelitach i na Ziemi, powiększałby się o blisko 0,5 km po każdej godzinie pracy systemu i po jednej dobie osiągnąłby wartość około 11,6 km!
Tempo upływu czasu zależy od promienia orbity. Prędkość satelity na orbicie kołowej jest największa tuż przy powierzchni Ziemi i wynosi około 8 km/s (jest to tzw. pierwsza prędkość kosmiczna) oraz maleje wraz ze wzrostem promienia orbity (odwrotnie proporcjonalnie do pierwiastka z promienia orbity). Prędkości na niższych orbitach są na tyle duże, że zjawisko dylatacji czasu przewyższa efekt grawitacyjny, czyli zegary chodzą wolniej niż na powierzchni Ziemi, z kolei na orbitach wyższych przeważa przyśpieszenie czasu związane z większym potencjałem grawitacyjnym, więc zegary chodzą tam szybciej.
Na orbicie o promieniu około 9,5 tys. km oba efekty się znoszą. Na takiej orbicie nie mielibyśmy opisanego problemu, lecz z różnych powodów nie byłaby ona korzystna dla nawigacji satelitarnej. Jak wobec tego system GPS rozwiązuje problem synchronizacji zegarów umieszczonych w miejscach o różnym tempie upływu czasu? W skrócie przepis jest następujący: wybieramy lokalny inercjalny układ odniesienia (nazwijmy go układem bazowym). Zgodnie z teorią względności w inercjalnym układzie odniesienia możliwa jest naturalna synchronizacja zegarów. W układzie tym tworzymy system nieruchomych, wirtualnych, zsynchronizowanych ze sobą zegarów. Następnie przestrajamy odpowiednio zegary rzeczywiste systemu GPS (w systemie GPS będziemy musieli spowolnić pracę zegarów na orbicie) i synchronizujemy je z zegarami układu bazowego, tak aby w każdym momencie zegar rzeczywisty wskazywał dokładnie taki czas jak zegar wirtualny znajdujący się w tym momencie w miejscu zegara rzeczywistego. A zatem zegary rzeczywiste nie będą pokazywać czasu własnego, który w różnych miejscach może płynąć w innym tempie, lecz czas odmierzany w naszym bazowym układzie odniesienia. Wszelkie obliczenia prowadzimy w inercjalnym układzie bazowym, a następnie otrzymaną pozycję transformujemy do układu, który jest wygodniejszy dla użytkowników systemu GPS (…)


Więcej przeczytacie w artykule Jana Kurzyka „Dlaczego działa GPS?” w najnowszym wydaniu (2/2017) „Fizyki w Szkole”.


Jak działa GPS?


Pracę nad pierwszym systemem nawigacji satelitarnej o nazwie Transit rozpoczęły się w 1958 roku, a w 1964 system został oddany do użytku i używany był początkowo przez marynarkę wojenną USA. System składa się z 5 satelitów (plus 5 zapasowych) krążących po orbitach przechodzących w pobliżu biegunów na wysokości około 1100 km nad powierzchnią Ziemi. Takie ułożenie sprawiało, że odbiornik przeważnie miał kontakt tylko z jednym satelitą naraz.

Możliwości systemu Transit były dalekie od tego, co oferuje nam system GPS. Transit nie potrafił wyznaczać położeń odbiornika w czasie rzeczywistym. Ustalenie jednego położenia trwało kilkanaście minut, a przerwy, w czasie których odbiornik oczekiwał na pojawienie się kolejnego satelity wynosiły od jednej do nawet kilku godzin zależnie od szerokości geograficznej (najgorzej było w pobliżu równika). Do ustalenia położenia w czasie tych przerw okręty musiały stosować inne metody. System zapewniał pozycjonowanie odbiornika z dokładnością do 200 m, a w najlepszym wypadku do 20 m.

Do określenia pozycji odbiornika wykorzystywane było zjawisko Dopplera. Gdy satelita zbliża się do odbiornika, częstotliwość odbieranej fali jest wyższa, a gdy satelita się oddala, częstotliwość odbieranej fali jest niższa od częstotliwości nadawanej fali. Podobnie jest z dźwiękiem sygnału karetki pogotowia. Gdy karetka zbliża się do nas, słyszymy wyższy ton, a gdy się oddala – niższy. Ponieważ ze względu na tor satelity jego prędkość względem odbiornika stale się zmienia, to częstotliwość fali odbieranej przez odbiornik nie jest stała, lecz zmienia się w czasie, przy czym zmiany te są unikalne dla danej konfiguracji satelita – odbiornik. Tę unikalność Transit wykorzystywał do wyliczania pozycji odbiornika. Odbiornik mierzył przez dwie minuty zmiany częstotliwości odbieranego sygnału oraz zbierał informacje o aktualnych położeniach satelity, a następnie dane te przekazywał do specjalnie w tym celu zaprojektowanego komputera o nazwie AN/UYK-1, który po około 15 minutach obliczeń podawał pozycję.

Komputer miał około 1,5 m wysokości i pamięć ferrytową o pojemności około 16 kB. Prędkość okrętów jest zdecydowanie niższa niż prędkość satelitów systemu, ale ich ruch też wnosi wkład do obserwowanego zjawiska Dopplera. To było dodatkowym źródłem błędów. Dla wolno poruszających się okrętów dokładność pozycjonowania na podstawie jednego dwuminutowego cyklu pomiarów wynosiła około 100 m. W 1976 roku system Transit udostępniono również cywilnym użytkownikom. Był on używany przez tysiące statków handlowych i prywatnych jednostek pływających. Transit zakończył działalność w 1991 roku, wyparty całkowicie przez system GPS.

Niezależnie od systemu Transit w USA pracowano nad dwoma innymi projektami nawigacji. Były to projekty Timation i 621B. W 1973 roku rozpoczął się kolejny projekt: Global Positioning Satellite/NAVSTAR, nazywany dziś popularnie GPS. W systemie wykorzystano najlepsze cechy trzech poprzednich projektów: strukturę sygnału z 621B, metody przewidywania pozycji satelity z systemu Transit i użycie dokładnych zegarów z Timation (wówczas nie były to jeszcze zegary atomowe, lecz zegary kwarcowe).

Jak znaleźć współrzędne punktu?

Do wyznaczenia położenia system GPS wykorzystuje metodę znaną od dawna przez geodetów. W przypadku dwuwymiarowym, tzn. gdy punkty leżą na płaszczyźnie, metoda ta wymaga wykonania pomiaru odległości dwóch punktów o znanych współrzędnych. Rozwiązanie takiego problemu spełniają dwa punkty (wyjątkiem jest sytuacja, gdy szukany punkt leży na prostej łączącej oba znane punkty). Są to miejsca przecięcia dwóch okręgów o środkach w tych znanych punktach i promieniach równych odległościom między tymi punktami a szukanym punktem.

Dodatkowe informacje na temat położenia szukanego punktu względem znanych punktów pozwalają na jednoznaczne wskazanie, o które z dwóch miejsc przecięcia okręgów nam chodzi. W geodezji stosuje się gotowe wzory wynikające z twierdzeń dotyczących trójkąta (m.in. z twierdzenia cosinusów), które jednoznacznie wyznaczają nam współrzędne szukanego punktu. W sytuacji, gdy szukamy współrzędnych punktu w trójwymiarowym układzie współrzędnych, jak to ma miejsce w systemie GPS, do ich wyznaczenia będziemy musieli zmierzyć odległości trzech punktów o znanych współrzędnych.

Na pozór pomysł na system nawigacji satelitarnej oparty na tej idei wydaje się prosty. Umieszczamy na orbitach odpowiednią liczbę satelitów. Satelity wysyłają nieustannie informacje o swoim położeniu. W danym momencie mierzymy odległości od trzech z nich i wyliczamy nasze położenie. Jednak za praktyczną realizacją tego pomysłu stoi bardzo skomplikowany i zaawansowany technologicznie projekt.

Segment kosmiczny systemu GPS

Według pierwotnych założeń konstelacja satelitów GPS miała się składać z 24 satelitów, obecnie jest ich ponad 30 (część z nich pełni funkcję satelitów zapasowych na wypadek awarii czynnych satelitów). Poruszają się one na sześciu prawie kołowych orbitach na wysokości około 20 183 km nad powierzchnią Ziemi. Na takiej orbicie każdy z satelitów systemu wykonuje dwa obiegi wokół Ziemi w ciągu doby (dokładniej: w ciągu doby gwiazdowej). Płaszczyzny orbit przecinają płaszczyznę równika co 60° i są nachylone do niej pod kątem 55°. Na każdej orbicie umieszczono minimum cztery satelity. Satelity zapasowe nieaktywne w danym momencie znajdują się na nieco innych orbitach, tzw. orbitach parkowania.

Rozmieszczenie satelitów na poszczególnych orbitach nie jest równomierne. Satelity rozmieszczono na orbitach w sposób optymalny w sensie ich widoczności z powierzchni Ziemi, tak by w każdym miejscu na Ziemi liczba widocznych w każdej chwili satelitów była jak największa i nie mniejsza niż cztery. Najczęściej widocznych jest jednocześnie 7–8 satelitów, a w najbardziej sprzyjających warunkach aż 12.

Segment naziemny systemu GPS

Nieodłączną częścią systemu GPS jest tzw. segment naziemny. Stanowi go 12 stacji kontrolnych usytuowanych wzdłuż pasa równika i rozmieszczonych tak, żeby każdy satelita GPS był w każdym momencie widziany przez co najmniej dwie stacje kontrolne. Stacje naziemne monitorują ruch satelitów systemu i ich działanie. Ponieważ dla poprawności działania systemu musimy znać położenia satelitów z bardzo dużą dokładnością, stacje kontrolne dokonują ciągle precyzyjnych pomiarów położeń satelitów. Typowa dokładność tych pomiarów jest rzędu 5–10 cm. Zebrane przez stacje kontrolne dane przesyłane są do głównej stacji kontrolnej w Colorado Springs. Tam określane są m.in. błędy zegarów pokładowych i aktualne parametry orbit, tzw. efemerydy, które przez kilka najbliższych godzin będą pozwalały na wystarczająco dokładne wyliczanie położeń satelitów. Te zaktualizowane dane są wysyłane do satelitów, które z kolei rozsyłają je do odbiorników GPS w tzw. depeszy nawigacyjnej (…)

Cały artykuł Jana Kurzyka „Jak działa GPS” przeczytacie w najnowszym wydaniu (1/2017) „Fizyki w Szkole”.